Lamba-se média de um triángulo a cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e pelo ponto médio do lado oposto ao vértice.
A cada uma das três médias dividem o triángulo em dois triángulos de áreas iguais.
As três médias de um triángulo são concorrentes. Seu ponto de intersección G é chamado centro de gravidade do triángulo.
Médias e centro de gravidade de um triángulo
Mediatrices e círculo circunscrito
Chama-se mediatriz de um triángulo à cada uma das mediatrices de seus lados [AB], [AC] et [BC].
As três mediatrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ω equidistante dos três vértices. O círculo de centro Ω e rádio ΩA que passa pela cada um dos três vértices do triángulo é o círculo circunscrito ao triángulo.
Notas:
Um triángulo é obtusángulo se e só se as bisectrices se cortam fora do triángulo.
Um triángulo é acutángulo se e só se as bisectrices se cortam dentro do triángulo.
Propriedade:
ABC é um triángulo rectángulo em A se e só se o centro de seu círculo circunscrito é o centro de [BC].
Mediatrices e círculo circunscrito de um triángulo.
Bisectriz e círculo inscrito
As bisectrices de um triángulo são as três bisectrizé de seus ângulos internos.
As três bisectrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ou. O círculo inscrito do triángulo é o único círculo tangente aos três lados do triángulo e está totalmente incluído no triángulo. Tem por ponto central Ou, que é pois o centro do círculo inscrito no triángulo.
Bisectrices e círculo inscrito de um triángulo.
Alturas e ortocentro
Chama-se altura de um triángulo à cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e são perpendiculares à cara oposta ao vértice. A intersección da altura e o lado oposto denomina-se «pé» da altura.
Estas 3 alturas cortam-se em um ponto único H chamado ortocentro do triángulo.
Notas:
Um triángulo é rectángulo se e só se seu ortocentro é um dos vértices do triángulo
Um triángulo é obtusángulo se e só se seu ortocentro se encontra fora do triángulo
Um triángulo é acutángulo se e só se seu ortocentro está dentro do triángulo
Médias e centro de gravidade
Alturas e ortocentro de um triángulo
Recta e círculo de Euler
Os três pontos H, G e Ω estão alineados em uma linha recta telefonema recto de Euler do triángulo e verifica a relação de Euler:
Por outra parte, os pontos médios dos três lados, os três pés das alturas e os pontos médios dos segmentos [AH], [BH] e [CH] estão em um mesmo círculo chamado círculo de Euler ou círculo dos nove pontos do triángulo.
Recta e círculo de Euler de um triángulo.
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