terça-feira, 23 de novembro de 2010

Quadrilátero

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°. Assim como qualquer outro polígono, podemos usar a fórmula: Si = (n - 2)180 (onde "n" representa o número de lados); para achar a soma dos ângulos internos (Si). Veja o exemplo com um quadrilátero: Si = (4 - 2)180º Si = (2)180º Si = 360º

Classificação de quadriláteros

Os quadriláteros podem ser côncavos ou convexos. O quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não cruza o lado formado pelos dois outros vértices, e as medidas de seus ângulos internos são menores que 180º. Exemplo de quadrilátero côncavo:



Os quadriláteros convexos podem ser considerados Trapézios ou Paralelogramos. O seguinte esquema ilustra a classificação dos diferentes tipos de quadriláteros:



Os quadriláteros apresentam os seguintes elementos:
Vértices
Lados
Diagonais
Ângulos internos
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos. Veja o quadrilátero ABCD:



Quadilátero ABCD:
Vértices: A, B, C, D
Lados: AB, BD, CD, CA
Diagonais: AD, BC
Ângulos internos: A, B, C, D.

Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de Trapézios

Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são congruentes (de mesmo comprimento), os lados opostos paralelos não são congruentes e apresenta um eixo de simetria;
Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.



Paralelogramas

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelograma. Um paralelograma apresenta as seguintes características:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramas

Paralelograma Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares.
Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.

congruencia entre triangulos

DEFINIÇÃO

Dois triângulos são chamados congruentes quando os seus lados e os seus ângulos são congruentes.

CASOS DE CONGRUÊNCIA

O menor número de condições para que exista congruência entre dois triângulos são 4 casos.
Temos, então:

1º CASO: L.L.L. (lado, lado, lado) - Dois triângulos que têm os três lados congruentes são congruentes (figura 1).

2º CASO: L.A.L. (lado, ângulo, lado) - Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado respectivamente congruentes são congruentes (figura 2).

3º CASO: A.L.A. (ângulo, lado, ângulo) - Dois triângulos que têm dois ângulos adjacentes a um lado do triângulo congruentes são congruentes (figura 3).

4º CASO: L.A.Ao. (lado, ângulo, ângulo oposto) - Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e outro ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes




Elementos notáveis de um triángulo

Médias e centro de gravidade de um triángulo
Lamba-se média de um triángulo a cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e pelo ponto médio do lado oposto ao vértice.

A cada uma das três médias dividem o triángulo em dois triángulos de áreas iguais.

As três médias de um triángulo são concorrentes. Seu ponto de intersección G é chamado centro de gravidade do triángulo.


Médias e centro de gravidade de um triángulo


Mediatrices e círculo circunscrito

Chama-se mediatriz de um triángulo à cada uma das mediatrices de seus lados [AB], [AC] et [BC].

As três mediatrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ω equidistante dos três vértices. O círculo de centro Ω e rádio ΩA que passa pela cada um dos três vértices do triángulo é o círculo circunscrito ao triángulo.

Notas:

Um triángulo é obtusángulo se e só se as bisectrices se cortam fora do triángulo.
Um triángulo é acutángulo se e só se as bisectrices se cortam dentro do triángulo.
Propriedade:

ABC é um triángulo rectángulo em A se e só se o centro de seu círculo circunscrito é o centro de [BC].


Mediatrices e círculo circunscrito de um triángulo.

Bisectriz e círculo inscrito

As bisectrices de um triángulo são as três bisectrizé de seus ângulos internos.

As três bisectrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ou. O círculo inscrito do triángulo é o único círculo tangente aos três lados do triángulo e está totalmente incluído no triángulo. Tem por ponto central Ou, que é pois o centro do círculo inscrito no triángulo.


Bisectrices e círculo inscrito de um triángulo.

Alturas e ortocentro

Chama-se altura de um triángulo à cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e são perpendiculares à cara oposta ao vértice. A intersección da altura e o lado oposto denomina-se «pé» da altura.

Estas 3 alturas cortam-se em um ponto único H chamado ortocentro do triángulo.

Notas:

Um triángulo é rectángulo se e só se seu ortocentro é um dos vértices do triángulo
Um triángulo é obtusángulo se e só se seu ortocentro se encontra fora do triángulo
Um triángulo é acutángulo se e só se seu ortocentro está dentro do triángulo


Médias e centro de gravidade
Alturas e ortocentro de um triángulo

Recta e círculo de Euler

Os três pontos H, G e Ω estão alineados em uma linha recta telefonema recto de Euler do triángulo e verifica a relação de Euler:


Por outra parte, os pontos médios dos três lados, os três pés das alturas e os pontos médios dos segmentos [AH], [BH] e [CH] estão em um mesmo círculo chamado círculo de Euler ou círculo dos nove pontos do triángulo.


Recta e círculo de Euler de um triángulo.

frações algebricas

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.

Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.



M.M.C de polinômios:

Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente.



Adição e subtração de frações algébrica:



Multiplicação e divisão de frações algébricas

Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.



Potenciação de frações algébricas

Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.

Condição de existência de um triângulo

Sabemos que um triângulo é formado por três lados que possuem uma determinada medida, mas essas não podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retângulo, é preciso seguir uma regra.

Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo:

| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:
Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos formar um triângulo?
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados.
|10 – 9| < 5 < 10 + 9
1 < 5 <19 (VERDADEIRO)

|9 – 5| < 10 < 9 + 5
4 < 10 < 14 (VERDADEIRO)

|5 – 10| < 9 < 10 + 5
5 < 9 < 15 (VERDADEIRO)

Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo.

Equação Fracionaria

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:


exemplo 1



exemplo 2