Quadrilátero

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°. Assim como qualquer outro polígono, podemos usar a fórmula: Si = (n - 2)180 (onde "n" representa o número de lados); para achar a soma dos ângulos internos (Si). Veja o exemplo com um quadrilátero: Si = (4 - 2)180º Si = (2)180º Si = 360º

Classificação de quadriláteros

Os quadriláteros podem ser côncavos ou convexos. O quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não cruza o lado formado pelos dois outros vértices, e as medidas de seus ângulos internos são menores que 180º. Exemplo de quadrilátero côncavo:



Os quadriláteros convexos podem ser considerados Trapézios ou Paralelogramos. O seguinte esquema ilustra a classificação dos diferentes tipos de quadriláteros:



Os quadriláteros apresentam os seguintes elementos:
Vértices
Lados
Diagonais
Ângulos internos
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos. Veja o quadrilátero ABCD:



Quadilátero ABCD:
Vértices: A, B, C, D
Lados: AB, BD, CD, CA
Diagonais: AD, BC
Ângulos internos: A, B, C, D.

Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de Trapézios

Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são congruentes (de mesmo comprimento), os lados opostos paralelos não são congruentes e apresenta um eixo de simetria;
Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.



Paralelogramas

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelograma. Um paralelograma apresenta as seguintes características:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramas

Paralelograma Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares.
Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.

congruencia entre triangulos

DEFINIÇÃO

Dois triângulos são chamados congruentes quando os seus lados e os seus ângulos são congruentes.

CASOS DE CONGRUÊNCIA

O menor número de condições para que exista congruência entre dois triângulos são 4 casos.
Temos, então:

1º CASO: L.L.L. (lado, lado, lado) - Dois triângulos que têm os três lados congruentes são congruentes (figura 1).

2º CASO: L.A.L. (lado, ângulo, lado) - Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado respectivamente congruentes são congruentes (figura 2).

3º CASO: A.L.A. (ângulo, lado, ângulo) - Dois triângulos que têm dois ângulos adjacentes a um lado do triângulo congruentes são congruentes (figura 3).

4º CASO: L.A.Ao. (lado, ângulo, ângulo oposto) - Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e outro ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes

Elementos notáveis de um triángulo

Médias e centro de gravidade de um triángulo
Lamba-se média de um triángulo a cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e pelo ponto médio do lado oposto ao vértice.

A cada uma das três médias dividem o triángulo em dois triángulos de áreas iguais.

As três médias de um triángulo são concorrentes. Seu ponto de intersección G é chamado centro de gravidade do triángulo.


Médias e centro de gravidade de um triángulo


Mediatrices e círculo circunscrito

Chama-se mediatriz de um triángulo à cada uma das mediatrices de seus lados [AB], [AC] et [BC].

As três mediatrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ω equidistante dos três vértices. O círculo de centro Ω e rádio ΩA que passa pela cada um dos três vértices do triángulo é o círculo circunscrito ao triángulo.

Notas:

Um triángulo é obtusángulo se e só se as bisectrices se cortam fora do triángulo.
Um triángulo é acutángulo se e só se as bisectrices se cortam dentro do triángulo.
Propriedade:

ABC é um triángulo rectángulo em A se e só se o centro de seu círculo circunscrito é o centro de [BC].


Mediatrices e círculo circunscrito de um triángulo.

Bisectriz e círculo inscrito

As bisectrices de um triángulo são as três bisectrizé de seus ângulos internos.

As três bisectrices de um triángulo são concorrentes em um ponto Ou. O círculo inscrito do triángulo é o único círculo tangente aos três lados do triángulo e está totalmente incluído no triángulo. Tem por ponto central Ou, que é pois o centro do círculo inscrito no triángulo.


Bisectrices e círculo inscrito de um triángulo.

Alturas e ortocentro

Chama-se altura de um triángulo à cada uma das três linhas que passam por um vértice do triángulo e são perpendiculares à cara oposta ao vértice. A intersección da altura e o lado oposto denomina-se «pé» da altura.

Estas 3 alturas cortam-se em um ponto único H chamado ortocentro do triángulo.

Notas:

Um triángulo é rectángulo se e só se seu ortocentro é um dos vértices do triángulo
Um triángulo é obtusángulo se e só se seu ortocentro se encontra fora do triángulo
Um triángulo é acutángulo se e só se seu ortocentro está dentro do triángulo


Médias e centro de gravidade
Alturas e ortocentro de um triángulo

Recta e círculo de Euler

Os três pontos H, G e Ω estão alineados em uma linha recta telefonema recto de Euler do triángulo e verifica a relação de Euler:


Por outra parte, os pontos médios dos três lados, os três pés das alturas e os pontos médios dos segmentos [AH], [BH] e [CH] estão em um mesmo círculo chamado círculo de Euler ou círculo dos nove pontos do triángulo.


Recta e círculo de Euler de um triángulo.

frações algebricas

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.

Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.



M.M.C de polinômios:

Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente.



Adição e subtração de frações algébrica:



Multiplicação e divisão de frações algébricas

Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.



Potenciação de frações algébricas

Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.

Condição de existência de um triângulo

Sabemos que um triângulo é formado por três lados que possuem uma determinada medida, mas essas não podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retângulo, é preciso seguir uma regra.

Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo:

| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:
Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos formar um triângulo?
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados.
|10 – 9| < 5 < 10 + 9
1 < 5 <19 (VERDADEIRO)

|9 – 5| < 10 < 9 + 5
4 < 10 < 14 (VERDADEIRO)

|5 – 10| < 9 < 10 + 5
5 < 9 < 15 (VERDADEIRO)

Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo.

Equação Fracionaria

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:


exemplo 1



exemplo 2

angulos congruentes

Congruência é uma definição geométrica. Temos que dois triângulos são congruentes: Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

submúltiplos do grau

A unidade usual de ângulo é o grau (representado por º), por exemplo:

25º: lê-se vinte e cinco graus.
32º: lê-se trinta e dois graus.
120º: lê-se cento e vinte graus.
90º: lê-se noventa graus.

O grau possui dois submúltiplos: o minuto (representado por ’) e o segundo (representado por ”). Observe:

32’: lê-se trinta e dois minutos.
81’: lê-se oitenta e um minutos.
15”: lê-se quinze segundos.
45”: lê-se quarenta e cinco segundos.

Temos que 1º (um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) corresponde a 60” (sessenta segundos). Por exemplo, observe as transformações a seguir:

2º em minutos: 2 * 60 = 120’
12’ em segundos: 12 * 60 = 720”
3600’’ em minutos: 3600 : 60 = 60’
90000” em graus: 90000 : 60 = 1500’ e 1500 : 60 = 25º

Observação:

Tabela de conversões

Operações com ângulos

ADIÇÂO

Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:



O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração:

No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.



SUBTRAÇÂO

Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:



Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor.
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.



Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:



O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.

MUTPLICAÇÂO

Para multiplicar graficamente um número natural por um ângulo, soma-se este ângulo a ele mesmo quantas vezes o número natural indicar



Para multiplicar numericamente um número por um ângulo, multiplica-se o número pelos segundos, minutos e graus, respectivamente.
Exemplo:

11° 23' 31' X 6 = 66° 138' 186'

Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60, temos de transformá-los na unidade superior. 186'/ 60 = 3' e sobram 6'. Somamos os 3' aos 138' que tínhamos, obtemos 141'. 141' / 60 = 2° e sobram 21'. Somamos os 2° aos 66° que tínhamos e obtemos 68°. O resultado final é: 68° 21' 6'.

DIVISÂO

Esta operação nem sempre pode ser feita graficamente. Não é possível, por exemplo, dividir um ângulo em três outros iguais com a ajuda de régua e compasso. Portanto, esta operação sempre terá de ser feita numericamente. Para isto, dividimos os graus, os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os diferentes restos obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior.
Exemplo:

Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12: O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de resto.



Se o número de graus for menor que o número pelo qual estamos dividindo, transformamos os graus em minutos e damos início à divisão.

Ângulos Complementares, Suplementares e Replementares

Dois ângulos são denominados:
Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90o. Neste caso, cada um é o complemento do outro.



Complemento de x
(90 graus - x)

Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.



Suplemento de x
(180 graus - x)

Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360o. Neste caso, cada um é o replemento do outro.



Replemento de x
(360 graus - x)

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V)

Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos que são formados pelas mesmas retas mas não são adjacentes, ou em outras palavras são ângulos em que um é formado pelas semi-retas opostas às semi-retas que formam o outro. Dois angulos são opostos pelo vertice (OPV) quando os lados de um sao semirretas opostas ao lado do outro.



Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.
Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).

Logo:
m = n e r = d

Observamos também que:
m + r = 180º, m + d = 180º, n + r = 180º, n + d = 180º

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
OBS: Pode haver mais de 1 transversal.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal Perpendicular às retas
Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°)

Transversal não-perpendicular às retas

Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.

Camisetas

desafio matematico

Não vale ler já o final. Isso não.

1. Em primeiro lugar fixe o número de vezes que gostaria de ir jantar fora durante uma semana. Mais do que uma vez e menos do que dez.

2. Multiplique o número anterior por 2

3. Some 5 ao resultado anterior.

4. Multiplique por 50. Bem eu sei, aqui se precisar de uma caneta e de um papel tudo bem. Eu espero ....

5. Agora se já passou seu aniversario este ano some 1757 ... Se ainda não passou some apenas 1756.

6. Agora ao resultado subtraia o seu ano de nascimento.

Encontrou um número composto por três dígitos. Não foi? Pois claro.

Então posso-lhe dizer que o primeiro algarismo é a sua resposta à primeira pergunta (o número de vezes que gostaria de jantar fora durante uma semana) e os outros dois algarismos representam ... a sua idade. É verdade!!!

Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81


4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144

Diferença entre dois quadrados

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12


400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7

Fatoração por Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)


Observe mais exemplos:


bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)

Fator comum em evidência

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1