angulos congruentes

Congruência é uma definição geométrica. Temos que dois triângulos são congruentes: Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

submúltiplos do grau

A unidade usual de ângulo é o grau (representado por º), por exemplo:

25º: lê-se vinte e cinco graus.
32º: lê-se trinta e dois graus.
120º: lê-se cento e vinte graus.
90º: lê-se noventa graus.

O grau possui dois submúltiplos: o minuto (representado por ’) e o segundo (representado por ”). Observe:

32’: lê-se trinta e dois minutos.
81’: lê-se oitenta e um minutos.
15”: lê-se quinze segundos.
45”: lê-se quarenta e cinco segundos.

Temos que 1º (um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) corresponde a 60” (sessenta segundos). Por exemplo, observe as transformações a seguir:

2º em minutos: 2 * 60 = 120’
12’ em segundos: 12 * 60 = 720”
3600’’ em minutos: 3600 : 60 = 60’
90000” em graus: 90000 : 60 = 1500’ e 1500 : 60 = 25º

Observação:

Tabela de conversões

Operações com ângulos

ADIÇÂO

Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:



O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração:

No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.



SUBTRAÇÂO

Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:



Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor.
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.



Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:



O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.

MUTPLICAÇÂO

Para multiplicar graficamente um número natural por um ângulo, soma-se este ângulo a ele mesmo quantas vezes o número natural indicar



Para multiplicar numericamente um número por um ângulo, multiplica-se o número pelos segundos, minutos e graus, respectivamente.
Exemplo:

11° 23' 31' X 6 = 66° 138' 186'

Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60, temos de transformá-los na unidade superior. 186'/ 60 = 3' e sobram 6'. Somamos os 3' aos 138' que tínhamos, obtemos 141'. 141' / 60 = 2° e sobram 21'. Somamos os 2° aos 66° que tínhamos e obtemos 68°. O resultado final é: 68° 21' 6'.

DIVISÂO

Esta operação nem sempre pode ser feita graficamente. Não é possível, por exemplo, dividir um ângulo em três outros iguais com a ajuda de régua e compasso. Portanto, esta operação sempre terá de ser feita numericamente. Para isto, dividimos os graus, os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os diferentes restos obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior.
Exemplo:

Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12: O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de resto.



Se o número de graus for menor que o número pelo qual estamos dividindo, transformamos os graus em minutos e damos início à divisão.

Ângulos Complementares, Suplementares e Replementares

Dois ângulos são denominados:
Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90o. Neste caso, cada um é o complemento do outro.



Complemento de x
(90 graus - x)

Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.



Suplemento de x
(180 graus - x)

Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360o. Neste caso, cada um é o replemento do outro.



Replemento de x
(360 graus - x)

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V)

Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos que são formados pelas mesmas retas mas não são adjacentes, ou em outras palavras são ângulos em que um é formado pelas semi-retas opostas às semi-retas que formam o outro. Dois angulos são opostos pelo vertice (OPV) quando os lados de um sao semirretas opostas ao lado do outro.



Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.
Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).

Logo:
m = n e r = d

Observamos também que:
m + r = 180º, m + d = 180º, n + r = 180º, n + d = 180º

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
OBS: Pode haver mais de 1 transversal.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal Perpendicular às retas
Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°)

Transversal não-perpendicular às retas

Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.